Une généralisation automorphe des nombres de Stirling

Let [n] be theset {1,2, *.. , n> and CT a given permutation in S,, the symmetric group on [n]. The (unsigned) Stirling numbers of the first kind enumerate the permutations on En] with k cycles and those of the second kind give the number partitions of [n] having k blocks. In this paper we compute the number of permutations on [n] with k cycles and the number of partitions on [n] having k blocks that are fixed under the action of 0 (i.e., for which cr is an automo~~sm). This gives rise to new generalizations and q-analogues of Stirling numbers of the first and second kind. Soit [n] l’ensemble (1,2, . . . , n) et soit d une permutation de S,, le groupe symetrique sur [n]. Les permutations de [n] ayant k cycles sont enumerees par les nombres de Stirling de premiere sorte (nor&g&s) et les partitions de [n] ayant k parts par ceux de deuxieme sorte. Dans cet article, nous calculoas le nombre de permutations sur [n] ayant k cycles et de partitions sur [n] ayant k parts qui sont fix&es par l’action de e (c’est Wire pour lesquelles e est un automorphisme). Nous obtenons ainsi de nouvelles g6neralisations et q-analogues des nombres de Stirling de premiere et deuxieme sorte. 0. Introdnctioa Pour tous entiers n, k tels que 0 < k < n, les nombres de Stirling de premiere sorte non-sign&s c(n, k) et ceux de deuxieme sorte S(n, k) eaumerent respectivement les permutations de [n] ayant k cycles et les partitions de [n] ayant k parts. Faisant appel aux langage et methodes de la theorie combinatoire des esp&es de structures Cl, 91, nous presentons ici une generalisation de ces nombres en analysant les permutations (resp. partitions) de [n] ayant k cycles (resp. k classes) et qui sont *Corresponding author. 0012-365X/96/%15.00 0 19% Elsevier Science B.V. All rights reserved &WI 0012-365X(95)00254-5 54 I. Constantineau, G. L&de/Discrete Mathematics 157 (1996) 53-64 invariantes sous l’action dune permutation don&e (r du groupe symetrique S,. Dun point de vue plus classique, notons que nos r6sultats pourraient aussi etre reformulb dans le cadre de la thtorie de Polya en faisant notamment appel ii des families sommables de polynomes indicateurs de cycles (series indicatrices de cycles). Nous denotons Per, l’espece des permutations ?I k cycles et Paq celle des partitions ir k parts. Les dries genera&ices de ces especes sont don&es par les expressions suivantes: Per&) = (log I?/(1 41)” = k! c IIZO c(n, k) $ et (eX l)k Par&) = 7 = c S(n, k) 5. II>0 (1) Ona c Per&x) = +$ et C Par&) = e(* ‘! (3) k,O k,O Les equations (1) et (2) sont classiques et peuvent Ctre deduites respectivement des formules combinatoires Perk = Exp, * Cyc et Par, = Exp, 0 Exp + (4) oh Exp, est l’esp&ce des ensembles de cardinalit& k, Cyc l’esphe des permutations circulaires, Exp + celle des ensembles non-vides et ‘0’ le composk partitionnel des especes. D&rition. Pour tous entiers n 2 k 2 0 et toute permutation (T de [n], les nombres de Stirling generalisb automorphes de premiere sorte, denotes C(Q, k), et ceux de deuxieme sorte, denotes S(o, k), sont d&finis respectivement par ~((7, k) = fix (Perk[a]) et s(o, k) = fix (Park [a]) (3 013 fix(Perk[o]) (fix(Pq[o])) est le nombre de Perk-structures (Park-structures) lais&es fixes par conjugaison avec la permutation cr (reetiquetage selon CT). Les nombres C(C, k) et S(s, k) ne dependent en fait que du type de la permutation o. Si r F n est un partage d’entier on pose c(z, k) = c(o, k) oti o est une ~~utation arbitraire de type z. On d&nit S(r, k) de la mCme man&e. Dans cet article nous calculons des recurrences satisfaites par les nombres C(C, k) et S(a, k) que nous exhibons aussi sous forme close. Nous obtenons les recurrences de deux man&es distinctes: d’abord, formellement, en nous servant des series indicatrices de l’esp&ce des permutations a cycles de poids t, Per(,), et celle des partitions a parts de poids t, Parfr), puis, combinatoirement, en examinant les structures BnumMes par c(cr, k) et S(a, k). I. Constantineau, G. L&de f LXmvte Matlemutics 157 (19%} 53-64 55 Ces rkurrences sont des generalisations de rk.nrences bien connues satisfaites par les nombres de Stirling usuels. Dans le cas des nombres de Stirling de premi&e sorte, il s’agit de la relation c(n + 1, k) = c(n, k 1) + nc(n, k), (6) alors que pour ceux de deuxieme sorte, on g&r&rake plut6t l’identite S(n+ l,k)=t (;)S(n-i,k-1). i=O Nous terminons l’article en presentant des q-analogues automorphes des nombres de Stirling de premiere sorte, c&a, k), et deuxi&ne sorte, S&I, k), obtenus ir l’aide des skies indicatrices correspondantes. Il s’agit de polynomes en 4 a coefficients entiers nonnegatifs qui sont l&s aux sous-groupes de Young de S, et qui different des q-analogues ‘classiques’ c,[n, k] et S,[n, k] (que l’on peut retrouver, par exemple, dans [S]). De meme, il est a noter que les gCntralisations automorphes developpees ici sont distinctes de celles obtenues dans [2, 11, 121. 1. Les aombres de Stirling automorphes de premihre sorte Dknotons par Cyc,,, l’esp&ce des permutations circulaires de poids t et Per(,) = Exp 0 Cycttj l’espece des permutations pond&es correspondante. Le poids dune permutation ayant k cycles est done t’. On a 2 = c x;*x;zxj3 I.. P% Pm = c P&) -Xt 1” 21!292! ..* n”nr,! T Aut(r) oti la somme parcourt l’ensemble des partages d’entiers r (de type 1’12’13’t +a’ ) et 06 le polynome pr(t) est don& par l’expression suivante: La serie indicatrice 2 cyc,,, de Cyc,, est obtenue de celles des cycles ordinaires Z,, en multipliant cette derniere par t, zcyc,,, = GyC = t c slog&k,l k w oh 4 d&gne la fonction d’Euler classique. Puisqu’on a la relation Per,, = Exp 0 Cyc,,, on obtient de (8) et (10)